let z1, z2 be Element of ; ( z1 <> 0. F_Complex & z2 <> 0. F_Complex implies (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2 as Element of COMPLEX by Def1;
A1:
z2 - z1 = z2' - z1'
by Th5;
assume A2:
z1 <> 0. F_Complex
; ( not z2 <> 0. F_Complex or (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
then A3:
z1 " = z1' "
by Th7;
assume A4:
z2 <> 0. F_Complex
; (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " )
then
z1 * z2 <> 0. F_Complex
by A2, VECTSP_1:44;
then A5:
(z1 * z2) " = (z1' * z2') "
by Th7;
z2 " = z2' "
by A4, Th7;
hence (z1 " ) - (z2 " ) =
(z1' " ) - (z2' " )
by A3, Th5
.=
(z2 - z1) * ((z1 * z2) " )
by A2, A4, A1, A5, Th9, XCMPLX_1:214
;
verum