let M be non empty set ; :: thesis: for V being ComplexNormSpace
for f1, f2 being PartFunc of M,the carrier of V
for z being Complex holds z (#) (f1 - f2) = (z (#) f1) - (z (#) f2)
let V be ComplexNormSpace; :: thesis: for f1, f2 being PartFunc of M,the carrier of V
for z being Complex holds z (#) (f1 - f2) = (z (#) f1) - (z (#) f2)
let f1, f2 be PartFunc of M,the carrier of V; :: thesis: for z being Complex holds z (#) (f1 - f2) = (z (#) f1) - (z (#) f2)
let z be Complex; :: thesis: z (#) (f1 - f2) = (z (#) f1) - (z (#) f2)
A1: dom (z (#) (f1 - f2)) = dom (f1 - f2) by Def4
.= (dom f1) /\ (dom f2) by Def2
.= (dom f1) /\ (dom (z (#) f2)) by Def4
.= (dom (z (#) f1)) /\ (dom (z (#) f2)) by Def4
.= dom ((z (#) f1) - (z (#) f2)) by Def2 ;

now

let x be Element of M; :: thesis: ( x in dom (z (#) (f1 - f2)) implies (z (#) (f1 - f2)) /. x = ((z (#) f1) - (z (#) f2)) /. x )
assume A2: x in dom (z (#) (f1 - f2)) ; :: thesis: (z (#) (f1 - f2)) /. x = ((z (#) f1) - (z (#) f2)) /. x
then x in (dom (z (#) f1)) /\ (dom (z (#) f2)) by A1, Def2;
then A3: ( x in dom (z (#) f1) & x in dom (z (#) f2) ) by XBOOLE_0:def 4;
A4: x in dom (f1 - f2) by A2, Def4;
thus (z (#) (f1 - f2)) /. x = z * ((f1 - f2) /. x) by A2, Def4
.= z * ((f1 /. x) - (f2 /. x)) by A4, Def2
.= (z * (f1 /. x)) - (z * (f2 /. x)) by CLVECT_1:10
.= ((z (#) f1) /. x) - (z * (f2 /. x)) by A3, Def4
.= ((z (#) f1) /. x) - ((z (#) f2) /. x) by A3, Def4
.= ((z (#) f1) - (z (#) f2)) /. x by A1, A2, Def2 ; :: thesis: verum

end;

hence z (#) (f1 - f2) = (z (#) f1) - (z (#) f2) by A1, PARTFUN2:3; :: thesis: verum