let X, Y be set ; :: thesis: for C being non empty set
for V being RealNormSpace
for f1, f2 being PartFunc of C,the carrier of V st f1 is_bounded_on X & f2 | Y is V8() holds
( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y )
let C be non empty set ; :: thesis: for V being RealNormSpace
for f1, f2 being PartFunc of C,the carrier of V st f1 is_bounded_on X & f2 | Y is V8() holds
( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y )
let V be RealNormSpace; :: thesis: for f1, f2 being PartFunc of C,the carrier of V st f1 is_bounded_on X & f2 | Y is V8() holds
( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y )
let f1, f2 be PartFunc of C,the carrier of V; :: thesis: ( f1 is_bounded_on X & f2 | Y is V8() implies ( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y ) )
assume A1: ( f1 is_bounded_on X & f2 | Y is V8() ) ; :: thesis: ( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y )
then A2: f2 is_bounded_on Y by Th61;
then ( - f1 is_bounded_on X & - f2 is_bounded_on Y ) by A1, Th52;
then ( f1 + (- f2) is_bounded_on X /\ Y & f2 + (- f1) is_bounded_on Y /\ X ) by A1, A2, Th53;
hence ( f1 - f2 is_bounded_on X /\ Y & f2 - f1 is_bounded_on X /\ Y ) by Th31; :: thesis: verum