let z be quaternion number ; :: thesis: ( Rea (z - (z *' )) = 0 & Im1 (z - (z *' )) = 2 * (Im1 z) & Im2 (z - (z *' )) = 2 * (Im2 z) & Im3 (z - (z *' )) = 2 * (Im3 z) )
A1: z = [*(Rea z),(Im1 z),(Im2 z),(Im3 z)*] by Th24;
z *' = [*(Rea z),(- (Im1 z)),(- (Im2 z)),(- (Im3 z))*] by Th43;
then ( Rea (z *' ) = Rea z & Im1 (z *' ) = - (Im1 z) & Im2 (z *' ) = - (Im2 z) & Im3 (z *' ) = - (Im3 z) ) by Th23;
then - (z *' ) = [*(- (Rea z)),(Im1 z),(Im2 z),(Im3 z)*] by Th62;
then z - (z *' ) = [*((Rea z) + (- (Rea z))),((Im1 z) + (Im1 z)),((Im2 z) + (Im2 z)),((Im3 z) + (Im3 z))*] by A1, Def7
.= [*0 ,(2 * (Im1 z)),(2 * (Im2 z)),(2 * (Im3 z))*] ;
hence ( Rea (z - (z *' )) = 0 & Im1 (z - (z *' )) = 2 * (Im1 z) & Im2 (z - (z *' )) = 2 * (Im2 z) & Im3 (z - (z *' )) = 2 * (Im3 z) ) by Th23; :: thesis: verum