let z be quaternion number ; :: thesis: ( Rea (z + (z *' )) = 2 * (Rea z) & Im1 (z + (z *' )) = 0 & Im2 (z + (z *' )) = 0 & Im3 (z + (z *' )) = 0 )
A1: z = [*(Rea z),(Im1 z),(Im2 z),(Im3 z)*] by Th24;
z *' = [*(Rea z),(- (Im1 z)),(- (Im2 z)),(- (Im3 z))*] by Th43;
then z + (z *' ) = [*((Rea z) + (Rea z)),((Im1 z) + (- (Im1 z))),((Im2 z) + (- (Im2 z))),((Im3 z) + (- (Im3 z)))*] by A1, Def7
.= [*(2 * (Rea z)),0 ,0 ,0 *] ;
hence ( Rea (z + (z *' )) = 2 * (Rea z) & Im1 (z + (z *' )) = 0 & Im2 (z + (z *' )) = 0 & Im3 (z + (z *' )) = 0 ) by Th23; :: thesis: verum