let z1, z2 be quaternion number ; :: thesis: |.(z1 * z2).| ^2 = (|.z1.| ^2 ) * (|.z2.| ^2 )
set z3 = z1 * z2;
A1: |.z1.| ^2 = ((((Rea z1) ^2 ) + ((Im1 z1) ^2 )) + ((Im2 z1) ^2 )) + ((Im3 z1) ^2 ) by Th1;
A2: |.z2.| ^2 = ((((Rea z2) ^2 ) + ((Im1 z2) ^2 )) + ((Im2 z2) ^2 )) + ((Im3 z2) ^2 ) by Th1;
A3: |.(z1 * z2).| ^2 = ((((Rea (z1 * z2)) ^2 ) + ((Im1 (z1 * z2)) ^2 )) + ((Im2 (z1 * z2)) ^2 )) + ((Im3 (z1 * z2)) ^2 ) by Th1;
z1 * z2 = [*(((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))),(((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)))*] by QUATERN2:1;
then ( Rea (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2)) & Im1 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)) & Im2 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)) & Im3 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)) ) by QUATERNI:23;
hence |.(z1 * z2).| ^2 = (|.z1.| ^2 ) * (|.z2.| ^2 ) by A1, A2, A3; :: thesis: verum