let F be Field; :: thesis: for S being OrtSp of F
for a, p, x, y being Element of S st not p _|_ & not p _|_ & not p _|_ holds
(ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x)
let S be OrtSp of F; :: thesis: for a, p, x, y being Element of S st not p _|_ & not p _|_ & not p _|_ holds
(ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x)
let a, p, x, y be Element of S; :: thesis: ( not p _|_ & not p _|_ & not p _|_ implies (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x) )
set 0F = 0. F;
set 1F = 1_ F;
assume A1: ( not p _|_ & not p _|_ & not p _|_ ) ; :: thesis: (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x)
then A2: ( not p _|_ & not p _|_ & not p _|_ & not a _|_ & not x _|_ & not y _|_ ) by Th12;

A3: now

assume x _|_ ; :: thesis: (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x)
then ( x _|_ & y _|_ ) by Th12;
then ( ProJ x,p,y = 0. F & ProJ y,p,x = 0. F ) by A2, Th33;
then ( (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = 0. F & (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x) = 0. F ) by VECTSP_1:39;
hence (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x) ; :: thesis: verum

end;

now

assume A4: not x _|_ ; :: thesis: (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x)
then A5: ( not x _|_ & not y _|_ ) by Th12;
(ProJ p,a,y) * ((ProJ p,a,x) " ) = ProJ p,x,y by A1, Th34;
then ((ProJ p,a,y) * ((ProJ p,a,x) " )) * (ProJ p,a,x) = (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ y,x,p)) * (ProJ p,a,x) by A2, A4, Th37;
then A6: (ProJ p,a,y) * (((ProJ p,a,x) " ) * (ProJ p,a,x)) = (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ y,x,p)) * (ProJ p,a,x) by GROUP_1:def 4;
ProJ p,a,x <> 0. F by A1, Th33;
then (ProJ p,a,y) * (1_ F) = (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ y,x,p)) * (ProJ p,a,x) by A6, VECTSP_1:def 22;
then ProJ p,a,y = ((ProJ y,x,p) * ((ProJ x,y,p) " )) * (ProJ p,a,x) by VECTSP_1:def 19;
then ProJ p,a,y = (ProJ y,x,p) * (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ p,a,x)) by GROUP_1:def 4;
then (ProJ y,p,x) * (ProJ p,a,y) = (ProJ y,p,x) * (((ProJ y,p,x) " ) * (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ p,a,x))) by A2, A5, Th35;
then A7: (ProJ y,p,x) * (ProJ p,a,y) = ((ProJ y,p,x) * ((ProJ y,p,x) " )) * (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ p,a,x)) by GROUP_1:def 4;
ProJ y,p,x <> 0. F by A2, A5, Th33;
then (ProJ y,p,x) * (ProJ p,a,y) = (((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ p,a,x)) * (1_ F) by A7, VECTSP_1:def 22
.= ((ProJ x,y,p) " ) * (ProJ p,a,x) by VECTSP_1:def 19 ;
hence (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x) by A2, A4, Th35; :: thesis: verum

end;

hence (ProJ p,a,x) * (ProJ x,p,y) = (ProJ p,a,y) * (ProJ y,p,x) by A3; :: thesis: verum