let K be Field; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 - M3 = (M1 - M2) + (M2 - M3)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 - M3 = (M1 - M2) + (M2 - M3) )
assume A1: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 ) ; :: thesis: M1 - M3 = (M1 - M2) + (M2 - M3)
then A2: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by MATRIX_3:def 2;
A3: ( len (- M3) = len M1 & width (- M3) = width M1 ) by A1, MATRIX_3:def 2;
( len (M1 + (- M2)) = len M1 & width (M1 + (- M2)) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;
then (M1 - M2) + (M2 - M3) = ((M1 + (- M2)) + M2) + (- M3) by A1, A3, MATRIX_3:5
.= (M1 + ((- M2) + M2)) + (- M3) by A1, A2, MATRIX_3:5
.= (M1 + (M2 - M2)) + (- M3) by A1, A2, MATRIX_3:4
.= M1 + (- M3) by A1, Th20 ;
hence M1 - M3 = (M1 - M2) + (M2 - M3) ; :: thesis: verum