let K be Field; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2) )
assume A1: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 ) ; :: thesis: M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2)
then A2: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by MATRIX_3:def 2;
A3: ( len (M1 + M2) = len M1 & width (M1 + M2) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;
thus (M1 + M2) + (M3 - M2) = (M1 + M2) + ((- M2) + M3) by A1, A2, MATRIX_3:4
.= ((M1 + M2) + (- M2)) + M3 by A1, A2, A3, MATRIX_3:5
.= (M1 + (M2 - M2)) + M3 by A1, A2, MATRIX_3:5
.= M1 + M3 by A1, Th20 ; :: thesis: verum