let K be Field; :: thesis: for M1, M2, M3, M4 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & len M3 = len M4 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & width M3 = width M4 & M1 - M2 = M3 - M4 holds
M1 - M3 = M2 - M4
let M1, M2, M3, M4 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & len M3 = len M4 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & width M3 = width M4 & M1 - M2 = M3 - M4 implies M1 - M3 = M2 - M4 )
assume A1: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & len M3 = len M4 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & width M3 = width M4 & M1 - M2 = M3 - M4 ) ; :: thesis: M1 - M3 = M2 - M4
A2: ( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 ) by MATRIX_3:def 2;
A3: ( len (- M3) = len M3 & width (- M3) = width M3 ) by MATRIX_3:def 2;
A4: ( len (- M4) = len M1 & width (- M4) = width M1 ) by A1, MATRIX_3:def 2;
A5: ( len (M1 + (- M3)) = len M1 & width (M1 + (- M3)) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;
A6: ( len (M3 + (- M4)) = len M1 & width (M3 + (- M4)) = width M1 ) by A1, MATRIX_3:def 3;
A7: ( len (M2 + (- M4)) = len M1 & width (M2 + (- M4)) = width M1 ) by A1, MATRIX_3:def 3;
A8: ( len (M1 + (- M2)) = len M1 & width (M1 + (- M2)) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;
A9: ( len (M1 + (- M3)) = len M1 & width (M1 + (- M3)) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;

per cases ( len M1 > 0 or len M1 = 0 ) by NAT_1:3;

suppose len M1 > 0 ; :: thesis: M1 - M3 = M2 - M4

then M3 + (- M4) is Matrix of len M1, width M1,K by A6, MATRIX_1:20;
then (M1 + (- M2)) + (- (M3 + (- M4))) = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, MATRIX_3:7;
then (M1 + (- M2)) + ((- M3) + (- (- M4))) = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A4, Th12;
then (M1 + (- M2)) + ((- M3) + M4) = 0. K,(len M1),(width M1) by Th1;
then ((M1 + (- M2)) + (- M3)) + M4 = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A3, A8, MATRIX_3:5;
then (M1 + ((- M2) + (- M3))) + M4 = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A2, A3, MATRIX_3:5;
then (M1 + ((- M3) + (- M2))) + M4 = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A2, A3, MATRIX_3:4;
then ((M1 + (- M3)) + (- M2)) + M4 = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A2, A3, MATRIX_3:5;
then (M1 + (- M3)) + ((- M2) + M4) = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A2, A9, MATRIX_3:5;
then (M1 + (- M3)) + ((- M2) + (- (- M4))) = 0. K,(len M1),(width M1) by Th1;
then (M1 + (- M3)) - (M2 + (- M4)) = 0. K,(len M1),(width M1) by A1, A4, Th12;
hence M1 - M3 = M2 - M4 by A5, A7, Th7; :: thesis: verum

end;

suppose A10: len M1 = 0 ; :: thesis: M1 - M3 = M2 - M4

then A11: len (M1 - M3) = 0 by MATRIX_3:def 3;
len (M2 - M4) = 0 by A1, A10, MATRIX_3:def 3;
hence M1 - M3 = M2 - M4 by A11, CARD_2:83; :: thesis: verum

end;

end;