let K be Field; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M3 - M1 = M3 - M2 holds
M1 = M2
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M3 - M1 = M3 - M2 implies M1 = M2 )
assume A1:
( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M3 - M1 = M3 - M2 )
; :: thesis: M1 = M2
per cases
( len M1 > 0 or len M1 = 0 )
by NAT_1:3;
suppose A2:
len M1 > 0
;
:: thesis: M1 = M2A3:
(
len (- M1) = len M1 &
width (- M1) = width M1 )
by MATRIX_3:def 2;
A4:
(
len (- M2) = len M2 &
width (- M2) = width M2 )
by MATRIX_3:def 2;
A5:
(
len (- M3) = len M3 &
width (- M3) = width M3 )
by MATRIX_3:def 2;
A6:
M3 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A1, A2, MATRIX_1:20;
A7:
- M2 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A1, A2, A4, MATRIX_1:20;
A8:
- M1 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A2, A3, MATRIX_1:20;
(- M1) + M3 = M3 + (- M2)
by A1, A3, MATRIX_3:4;
then
(- M1) + M3 = (- M2) + M3
by A1, A4, MATRIX_3:4;
then
((- M1) + M3) + (- M3) = (- M2) + (M3 + (- M3))
by A1, A4, A5, MATRIX_3:5;
then
((- M1) + M3) + (- M3) = (- M2) + (0. K,(len M1),(width M1))
by A6, MATRIX_3:7;
then
((- M1) + M3) + (- M3) = - M2
by A7, MATRIX_3:6;
then
(- M1) + (M3 + (- M3)) = - M2
by A1, A3, A5, MATRIX_3:5;
then
(- M1) + (0. K,(len M1),(width M1)) = - M2
by A6, MATRIX_3:7;
then
- M1 = - M2
by A8, MATRIX_3:6;
then
- (- M1) = M2
by Th1;
hence
M1 = M2
by Th1;
:: thesis: verum end;