let n be Nat; :: thesis: for M1, M2, M3, M4 being Matrix of n, REAL st M1 - M2 is_less_or_equal_with M3 - M4 holds
M1 - M3 is_less_or_equal_with M2 - M4
let M1, M2, M3, M4 be Matrix of n, REAL ; :: thesis: ( M1 - M2 is_less_or_equal_with M3 - M4 implies M1 - M3 is_less_or_equal_with M2 - M4 )
assume A1: M1 - M2 is_less_or_equal_with M3 - M4 ; :: thesis: M1 - M3 is_less_or_equal_with M2 - M4
A2: ( Indices M1 = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices M2 = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices M3 = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices M4 = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices (M1 - M2) = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices (M3 - M4) = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices (M1 - M3) = [:(Seg n),(Seg n):] & Indices (M2 - M4) = [:(Seg n),(Seg n):] ) by MATRIX_1:25;
A3: ( len M1 = len M2 & width M1 = width M2 & len M3 = len M4 & width M3 = width M4 & len M1 = len M3 & width M1 = width M3 & len M2 = len M4 & width M2 = width M4 ) by Lm1;
for i, j being Nat st [i,j] in Indices (M1 - M3) holds
(M1 - M3) * i,j <= (M2 - M4) * i,j

proof

let i, j be Nat; :: thesis: ( [i,j] in Indices (M1 - M3) implies (M1 - M3) * i,j <= (M2 - M4) * i,j )
assume A4: [i,j] in Indices (M1 - M3) ; :: thesis: (M1 - M3) * i,j <= (M2 - M4) * i,j
then (M1 - M2) * i,j <= (M3 - M4) * i,j by A1, A2, Def6;
then (M1 * i,j) - (M2 * i,j) <= (M3 - M4) * i,j by A2, A3, A4, Th3;
then (M1 * i,j) - (M2 * i,j) <= (M3 * i,j) - (M4 * i,j) by A2, A3, A4, Th3;
then (M1 * i,j) - (M3 * i,j) <= (M2 * i,j) - (M4 * i,j) by XREAL_1:18;
then (M1 - M3) * i,j <= (M2 * i,j) - (M4 * i,j) by A2, A3, A4, Th3;
hence (M1 - M3) * i,j <= (M2 - M4) * i,j by A2, A3, A4, Th3; :: thesis: verum

end;

hence M1 - M3 is_less_or_equal_with M2 - M4 by Def6; :: thesis: verum