let n be Element of NAT ; :: thesis: for h, x being Real
for f1, f2 being Function of REAL ,REAL holds ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
let h, x be Real; :: thesis: for f1, f2 being Function of REAL ,REAL holds ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
let f1, f2 be Function of REAL ,REAL ; :: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
defpred S1[ Element of NAT ] means for x being Real holds ((fdif (f1 + f2),h) . ($1 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ($1 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ($1 + 1)) . x);
A1:
S1[ 0 ]
proof
let x be
Real;
:: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x)
((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x =
(fD ((fdif (f1 + f2),h) . 0 ),h) . x
by Def6
.=
(fD (f1 + f2),h) . x
by Def6
.=
((f1 + f2) . (x + h)) - ((f1 + f2) . x)
by Th3
.=
((f1 . (x + h)) + (f2 . (x + h))) - ((f1 + f2) . x)
by VALUED_1:1
.=
((f1 . (x + h)) + (f2 . (x + h))) - ((f1 . x) + (f2 . x))
by VALUED_1:1
.=
((f1 . (x + h)) - (f1 . x)) + ((f2 . (x + h)) - (f2 . x))
.=
((fD f1,h) . x) + ((f2 . (x + h)) - (f2 . x))
by Th3
.=
((fD f1,h) . x) + ((fD f2,h) . x)
by Th3
.=
((fD ((fdif f1,h) . 0 ),h) . x) + ((fD f2,h) . x)
by Def6
.=
((fD ((fdif f1,h) . 0 ),h) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . 0 ),h) . x)
by Def6
.=
(((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . 0 ),h) . x)
by Def6
.=
(((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x)
by Def6
;
hence
((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x)
;
:: thesis: verum
end;
A2:
for k being Element of NAT st S1[k] holds
S1[k + 1]
proof
let k be
Element of
NAT ;
:: thesis: ( S1[k] implies S1[k + 1] )
assume A3:
for
x being
Real holds
((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x)
;
:: thesis: S1[k + 1]
let x be
Real;
:: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x)
A4:
((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x)
by A3;
A5:
((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . (x + h) = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . (x + h)) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h))
by A3;
A6:
(fdif (f1 + f2),h) . (k + 1) is
Function of
REAL ,
REAL
by Th2;
A7:
(fdif f1,h) . (k + 1) is
Function of
REAL ,
REAL
by Th2;
A8:
(fdif f2,h) . (k + 1) is
Function of
REAL ,
REAL
by Th2;
((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x =
(fD ((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)),h) . x
by Def6
.=
(((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x)
by A6, Th3
.=
((((fdif f1,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x)) + ((((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x))
by A4, A5
.=
((fD ((fdif f1,h) . (k + 1)),h) . x) + ((((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x))
by A7, Th3
.=
((fD ((fdif f1,h) . (k + 1)),h) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . (k + 1)),h) . x)
by A8, Th3
.=
(((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . (k + 1)),h) . x)
by Def6
.=
(((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x)
by Def6
;
hence
((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x)
;
:: thesis: verum
end;
for n being Element of NAT holds S1[n]
from NAT_1:sch 1(A1, A2);
hence
((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
; :: thesis: verum