let z2, z3, z4, z1 be Element of F_Complex ; :: thesis: ( z2 <> 0. F_Complex & z3 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2, z3' = z3, z4' = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z3 <> 0. F_Complex or not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
assume A2: z3 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
assume A3: z4 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3)
A4: z2 * z3 <> 0. F_Complex by A1, A2, VECTSP_1:44;
A5: z1 / z2 = z1' / z2' by A1, Th8;
A6: z3 / z4 = z3' / z4' by A3, Th8;
z3 / z4 <> 0. F_Complex by A2, A3, Th62;
hence (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1' / z2') / (z3' / z4') by A5, A6, Th8
.= (z1' * z4') / (z2' * z3') by XCMPLX_1:85
.= (z1 * z4) / (z2 * z3) by A4, Th8 ;
:: thesis: verum