let z2, z4, z1, z3 be Element of F_Complex ; :: thesis: ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2, z3' = z3, z4' = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4) )
assume A2: z4 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4)
then A3: z2 * z4 <> 0. F_Complex by A1, VECTSP_1:44;
A4: z1' / z2' = z1 / z2 by A1, Th8;
z3' / z4' = z3 / z4 by A2, Th8;
hence (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1' * z3') / (z2' * z4') by A4, XCMPLX_1:77
.= (z1 * z3) / (z2 * z4) by A3, Th8 ;
:: thesis: verum