let z1, z2 be Element of F_Complex ; :: thesis: ( z1 <> 0. F_Complex & z2 <> 0. F_Complex implies (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1: z1 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z2 <> 0. F_Complex or (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
then A2: z1 " = z1' " by Th7;
assume A3: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " )
then A4: z2 " = z2' " by Th7;
A5: z2 - z1 = z2' - z1' by Th5;
z1 * z2 <> 0. F_Complex by A1, A3, VECTSP_1:44;
then A6: (z1 * z2) " = (z1' * z2') " by Th7;
thus (z1 " ) - (z2 " ) = (z1' " ) - (z2' " ) by A2, A4, Th5
.= (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) by A1, A3, A5, A6, Th9, XCMPLX_1:214 ; :: thesis: verum