let z1, z2 be complex number ; :: thesis: ( Im z1 = 0 & Im z2 = 0 implies ( Re (z1 * z2) = (Re z1) * (Re z2) & Im (z1 * z2) = 0 ) )
assume A1: ( Im z1 = 0 & Im z2 = 0 ) ; :: thesis: ( Re (z1 * z2) = (Re z1) * (Re z2) & Im (z1 * z2) = 0 )
thus Re (z1 * z2) = ((Re z1) * (Re z2)) - ((Im z1) * (Im z2)) by Th24
.= (Re z1) * (Re z2) by A1 ; :: thesis: Im (z1 * z2) = 0
thus Im (z1 * z2) = ((Re z1) * (Im z2)) + ((Re z2) * (Im z1)) by Th24
.= 0 by A1 ; :: thesis: verum