let A, B, C, D, E, F, J, M, N be set ; :: thesis: for h being Function
for A', B', C', D', E', F', J', M', N' being set st h = ((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) +* (A .--> A') holds
dom h = {A,B,C,D,E,F,J,M,N}
let h be Function; :: thesis: for A', B', C', D', E', F', J', M', N' being set st h = ((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) +* (A .--> A') holds
dom h = {A,B,C,D,E,F,J,M,N}
let A', B', C', D', E', F', J', M', N' be set ; :: thesis: ( h = ((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) +* (A .--> A') implies dom h = {A,B,C,D,E,F,J,M,N} )
assume A1: h = ((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) +* (A .--> A') ; :: thesis: dom h = {A,B,C,D,E,F,J,M,N}
A2: dom ((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) = {N,B,C,D,E,F,J,M} by Th22
.= {N} \/ {B,C,D,E,F,J,M} by ENUMSET1:62
.= {B,C,D,E,F,J,M,N} by ENUMSET1:68 ;
dom (A .--> A') = {A} by FUNCOP_1:19;
then dom (((((((((B .--> B') +* (C .--> C')) +* (D .--> D')) +* (E .--> E')) +* (F .--> F')) +* (J .--> J')) +* (M .--> M')) +* (N .--> N')) +* (A .--> A')) = {B,C,D,E,F,J,M,N} \/ {A} by A2, FUNCT_4:def 1
.= {A,B,C,D,E,F,J,M,N} by ENUMSET1:127 ;
hence dom h = {A,B,C,D,E,F,J,M,N} by A1; :: thesis: verum