let A be non empty set ; :: thesis: for a, b, c being Element of A
for o' being Element of LinPreorders A st a <> b & a <> c holds
ex o being Element of LinPreorders A st
( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) )
let a, b, c be Element of A; :: thesis: for o' being Element of LinPreorders A st a <> b & a <> c holds
ex o being Element of LinPreorders A st
( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) )
let o' be Element of LinPreorders A; :: thesis: ( a <> b & a <> c implies ex o being Element of LinPreorders A st
( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) ) )
assume A1: ( a <> b & a <> c ) ; :: thesis: ex o being Element of LinPreorders A st
( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) )
defpred S₁[ Element of A, Element of A] means ( ( $1 <> a & $1 <=_ o',$2 ) or $2 = a );
consider R being Relation of A such that
A2: for x, y being Element of A holds
( [x,y] in R iff S₁[x,y] ) from RELSET_1:sch 2();

A3: now

let x, y be Element of A; :: thesis: ( [x,y] in R or [y,x] in R )
( S₁[x,y] or S₁[y,x] ) by Th4;
hence ( [x,y] in R or [y,x] in R ) by A2; :: thesis: verum

end;

now

let x, y, z be Element of A; :: thesis: ( [x,y] in R & [y,z] in R implies [x,z] in R )
assume ( [x,y] in R & [y,z] in R ) ; :: thesis: [x,z] in R
then ( S₁[x,y] & S₁[y,z] ) by A2;
then S₁[x,z] by Th5;
hence [x,z] in R by A2; :: thesis: verum

end;

then reconsider o = R as Element of LinPreorders A by A3, Def1;
take o ; :: thesis: ( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) )
( not [a,b] in R & not [a,c] in R & ( not [c,b] in R implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies not [c,b] in R ) & ( not [b,c] in R implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies not [b,c] in R ) ) by A1, A2;
hence ( b <_ o,a & c <_ o,a & ( b <_ o,c implies b <_ o',c ) & ( b <_ o',c implies b <_ o,c ) & ( c <_ o,b implies c <_ o',b ) & ( c <_ o',b implies c <_ o,b ) ) by Def4; :: thesis: verum