let z, z3 be quaternion number ; :: thesis: ( z is Real implies z + z3 = ((((Rea z) + (Rea z3)) + ((Im1 z3) * <i> )) + ((Im2 z3) * <j> )) + ((Im3 z3) * <k> ) )
assume z is Real ; :: thesis: z + z3 = ((((Rea z) + (Rea z3)) + ((Im1 z3) * <i> )) + ((Im2 z3) * <j> )) + ((Im3 z3) * <k> )
then reconsider x = z as Real ;
a: ( Rea z = x & Im1 z = 0 & Im2 z = 0 & Im3 z = 0 )

proof

B2: x = [*x,0 *] by ARYTM_0:def 7;
[*x,0 *] = [*x,0 ,0 ,0 *] by QUATERNI:def 6;
hence ( Rea z = x & Im1 z = 0 & Im2 z = 0 & Im3 z = 0 ) by B2, QUATERNI:23; :: thesis: verum

end;

set z2 = [*((Rea z) + (Rea z3)),((Im1 z) + (Im1 z3)),((Im2 z) + (Im2 z3)),((Im3 z) + (Im3 z3))*];
reconsider z1 = z + z3 as quaternion number ;
A1: Rea [*((Rea z) + (Rea z3)),((Im1 z) + (Im1 z3)),((Im2 z) + (Im2 z3)),((Im3 z) + (Im3 z3))*] = (Rea z) + (Rea z3) by QUATERNI:23
.= Rea z1 by QUATERNI:36 ;
A2: Im1 [*((Rea z) + (Rea z3)),((Im1 z) + (Im1 z3)),((Im2 z) + (Im2 z3)),((Im3 z) + (Im3 z3))*] = (Im1 z) + (Im1 z3) by QUATERNI:23
.= Im1 z1 by QUATERNI:36 ;
A3: Im2 [*((Rea z) + (Rea z3)),((Im1 z) + (Im1 z3)),((Im2 z) + (Im2 z3)),((Im3 z) + (Im3 z3))*] = (Im2 z) + (Im2 z3) by QUATERNI:23
.= Im2 z1 by QUATERNI:36 ;
A4: Im3 [*((Rea z) + (Rea z3)),((Im1 z) + (Im1 z3)),((Im2 z) + (Im2 z3)),((Im3 z) + (Im3 z3))*] = (Im3 z) + (Im3 z3) by QUATERNI:23
.= Im3 z1 by QUATERNI:36 ;
z + z3 = [*((Rea z) + (Rea z3)),(Im1 z3),(Im2 z3),(Im3 z3)*] by A1, A2, A3, A4, a, QUATERNI:25;
hence z + z3 = ((((Rea z) + (Rea z3)) + ((Im1 z3) * <i> )) + ((Im2 z3) * <j> )) + ((Im3 z3) * <k> ) by QUATERN2:1; :: thesis: verum