let Y be non empty set ; :: thesis: for a, b being Element of Funcs Y,BOOLEAN holds a '<' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a
let a, b be Element of Funcs Y,BOOLEAN ; :: thesis: a '<' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a
let z be Element of Y; :: according to BVFUNC_1:def 15 :: thesis: ( not K90(Y,BOOLEAN ,a,z) = TRUE or K90(Y,BOOLEAN ,(((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a),z) = TRUE )
assume A1: a . z = TRUE ; :: thesis: K90(Y,BOOLEAN ,(((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a),z) = TRUE
then A2: 'not' (a . z) = FALSE by MARGREL1:41;
A3: ('not' a) . z = 'not' (a . z) by MARGREL1:def 20;
A4: ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) . z = (((a 'eqv' b) 'imp' (b 'eqv' a)) '&' ((b 'eqv' a) 'imp' (a 'eqv' b))) . z by BVFUNC_4:7
.= ((('not' (a 'eqv' b)) 'or' (b 'eqv' a)) . z) '&' ((('not' (b 'eqv' a)) 'or' (a 'eqv' b)) . z) by BVFUNC_4:8
.= ((('not' (a 'eqv' b)) . z) 'or' ((b 'eqv' a) . z)) '&' ((('not' (b 'eqv' a)) . z) 'or' ((a 'eqv' b) . z)) by BVFUNC_1:def 7
.= ((('not' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) . z) 'or' ((b 'eqv' a) . z)) '&' ((('not' (b 'eqv' a)) . z) 'or' ((a 'eqv' b) . z)) by BVFUNC_4:7
.= ((('not' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) . z) 'or' ((b 'eqv' a) . z)) '&' ((('not' (b 'eqv' a)) . z) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by BVFUNC_4:7
.= ((('not' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) . z) 'or' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) '&' ((('not' (b 'eqv' a)) . z) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by BVFUNC_4:7
.= ((('not' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) . z) 'or' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) '&' ((('not' ((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b))) . z) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by BVFUNC_4:7
.= (('not' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) 'or' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) '&' (('not' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by MARGREL1:def 20
.= (('not' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) '&' (('not' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by MARGREL1:def 21
.= (('not' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)) . z)) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by MARGREL1:def 21
.= (('not' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) . z)) by MARGREL1:def 21
.= (('not' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by MARGREL1:def 21
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((b 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((a 'imp' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((a 'imp' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((b 'imp' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) 'or' a) . z) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) 'or' b) . z))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) 'or' (((('not' a) 'or' b) . z) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' (a . z)))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' (a . z)) '&' ((('not' a) . z) 'or' (b . z)))) 'or' (((('not' a) . z) 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) 'or' a) . z))) by BVFUNC_1:def 7
.= (('not' ((FALSE 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((FALSE 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by A1, A2, A3, BVFUNC_1:def 7
.= (('not' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((FALSE 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:7
.= (('not' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (b . z))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((FALSE 'or' (b . z)) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:7
.= (('not' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) 'or' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (b . z))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:7
.= (('not' ((b . z) '&' TRUE )) 'or' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (b . z))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:19
.= (('not' ((b . z) '&' TRUE )) 'or' (TRUE '&' (b . z))) '&' (('not' (((('not' b) . z) 'or' TRUE ) '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:19
.= (('not' ((b . z) '&' TRUE )) 'or' (TRUE '&' (b . z))) '&' (('not' (TRUE '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((b . z) '&' ((('not' b) . z) 'or' TRUE ))) by BINARITH:19
.= (('not' ((b . z) '&' TRUE )) 'or' (TRUE '&' (b . z))) '&' (('not' (TRUE '&' (FALSE 'or' (b . z)))) 'or' ((b . z) '&' TRUE )) by BINARITH:19
.= (('not' (TRUE '&' (b . z))) 'or' (TRUE '&' (b . z))) '&' (('not' (TRUE '&' (b . z))) 'or' ((b . z) '&' TRUE )) by BINARITH:7
.= (('not' (b . z)) 'or' (TRUE '&' (b . z))) '&' (('not' (b . z)) 'or' (TRUE '&' (b . z))) by MARGREL1:50
.= (('not' (b . z)) 'or' (b . z)) '&' (('not' (b . z)) 'or' (b . z)) by MARGREL1:50
.= TRUE by XBOOLEAN:102 ;
(((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a) . z = ((((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'imp' a) '&' (a 'imp' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)))) . z by BVFUNC_4:7
.= ((((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'imp' a) . z) '&' ((a 'imp' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a))) . z) by MARGREL1:def 21
.= (('not' (((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) . z)) 'or' (a . z)) '&' ((a 'imp' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a))) . z) by BVFUNC_1:def 11
.= (('not' (((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) . z)) 'or' (a . z)) '&' (('not' (a . z)) 'or' (((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) . z)) by BVFUNC_1:def 11
.= (FALSE 'or' (a . z)) '&' (('not' (a . z)) 'or' TRUE ) by A4, MARGREL1:41
.= (a . z) '&' (('not' (a . z)) 'or' TRUE ) by BINARITH:7
.= TRUE '&' (a . z) by BINARITH:19
.= TRUE by A1 ;
hence K90(Y,BOOLEAN ,(((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'eqv' a),z) = TRUE ; :: thesis: verum