let M be non empty set ; for V being ComplexNormSpace
for f1, f2 being PartFunc of M,COMPLEX
for f3 being PartFunc of M,V holds (f1 (#) f2) (#) f3 = f1 (#) (f2 (#) f3)
let V be ComplexNormSpace; for f1, f2 being PartFunc of M,COMPLEX
for f3 being PartFunc of M,V holds (f1 (#) f2) (#) f3 = f1 (#) (f2 (#) f3)
let f1, f2 be PartFunc of M,COMPLEX; for f3 being PartFunc of M,V holds (f1 (#) f2) (#) f3 = f1 (#) (f2 (#) f3)
let f3 be PartFunc of M,V; (f1 (#) f2) (#) f3 = f1 (#) (f2 (#) f3)
A1: dom ((f1 (#) f2) (#) f3) =
(dom (f1 (#) f2)) /\ (dom f3)
by Def1
.=
((dom f1) /\ (dom f2)) /\ (dom f3)
by VALUED_1:def 4
.=
(dom f1) /\ ((dom f2) /\ (dom f3))
by XBOOLE_1:16
.=
(dom f1) /\ (dom (f2 (#) f3))
by Def1
.=
dom (f1 (#) (f2 (#) f3))
by Def1
;
now for x being Element of M st x in dom ((f1 (#) f2) (#) f3) holds
((f1 (#) f2) (#) f3) /. x = (f1 (#) (f2 (#) f3)) /. xlet x be
Element of
M;
( x in dom ((f1 (#) f2) (#) f3) implies ((f1 (#) f2) (#) f3) /. x = (f1 (#) (f2 (#) f3)) /. x )assume A2:
x in dom ((f1 (#) f2) (#) f3)
;
((f1 (#) f2) (#) f3) /. x = (f1 (#) (f2 (#) f3)) /. xthen
x in (dom (f1 (#) f2)) /\ (dom f3)
by Def1;
then A3:
x in dom (f1 (#) f2)
by XBOOLE_0:def 4;
A4:
dom (f1 (#) f2) = (dom f1) /\ (dom f2)
by VALUED_1:def 4;
then
x in dom f1
by A3, XBOOLE_0:def 4;
then A5:
f1 . x = f1 /. x
by PARTFUN1:def 6;
x in dom f2
by A3, A4, XBOOLE_0:def 4;
then A6:
f2 . x = f2 /. x
by PARTFUN1:def 6;
A7:
(f1 (#) f2) /. x =
(f1 (#) f2) . x
by A3, PARTFUN1:def 6
.=
(f1 /. x) * (f2 /. x)
by A3, A5, A6, VALUED_1:def 4
;
x in (dom f1) /\ (dom (f2 (#) f3))
by A1, A2, Def1;
then A8:
x in dom (f2 (#) f3)
by XBOOLE_0:def 4;
thus ((f1 (#) f2) (#) f3) /. x =
((f1 (#) f2) /. x) * (f3 /. x)
by A2, Def1
.=
(f1 /. x) * ((f2 /. x) * (f3 /. x))
by A7, CLVECT_1:def 4
.=
(f1 /. x) * ((f2 (#) f3) /. x)
by A8, Def1
.=
(f1 (#) (f2 (#) f3)) /. x
by A1, A2, Def1
;
verum end;
hence
(f1 (#) f2) (#) f3 = f1 (#) (f2 (#) f3)
by A1, PARTFUN2:1; verum