let z1 be Quaternion; (<i> * z1) + (z1 * <i>) = [*(- (2 * (Im1 z1))),(2 * (Rea z1)),0,0*]
set z = <i> ;
A1: <i> * z1 =
(((((((Rea <i>) * (Rea z1)) - ((Im1 <i>) * (Im1 z1))) - ((Im2 <i>) * (Im2 z1))) - ((Im3 <i>) * (Im3 z1))) + ((((((Rea <i>) * (Im1 z1)) + ((Im1 <i>) * (Rea z1))) + ((Im2 <i>) * (Im3 z1))) - ((Im3 <i>) * (Im2 z1))) * <i>)) + ((((((Rea <i>) * (Im2 z1)) + ((Im2 <i>) * (Rea z1))) + ((Im3 <i>) * (Im1 z1))) - ((Im1 <i>) * (Im3 z1))) * <j>)) + ((((((Rea <i>) * (Im3 z1)) + ((Im3 <i>) * (Rea z1))) + ((Im1 <i>) * (Im2 z1))) - ((Im2 <i>) * (Im1 z1))) * <k>)
by QUATERNI:93
.=
[*(- (Im1 z1)),(Rea z1),(- (Im3 z1)),(Im2 z1)*]
by QUATERN2:1, QUATERNI:30
;
then A2:
( Im2 (<i> * z1) = - (Im3 z1) & Im3 (<i> * z1) = Im2 z1 )
by QUATERNI:23;
A3: z1 * <i> =
(((((((Rea z1) * (Rea <i>)) - ((Im1 z1) * (Im1 <i>))) - ((Im2 z1) * (Im2 <i>))) - ((Im3 z1) * (Im3 <i>))) + ((((((Rea z1) * (Im1 <i>)) + ((Im1 z1) * (Rea <i>))) + ((Im2 z1) * (Im3 <i>))) - ((Im3 z1) * (Im2 <i>))) * <i>)) + ((((((Rea z1) * (Im2 <i>)) + ((Im2 z1) * (Rea <i>))) + ((Im3 z1) * (Im1 <i>))) - ((Im1 z1) * (Im3 <i>))) * <j>)) + ((((((Rea z1) * (Im3 <i>)) + ((Im3 z1) * (Rea <i>))) + ((Im1 z1) * (Im2 <i>))) - ((Im2 z1) * (Im1 <i>))) * <k>)
by QUATERNI:93
.=
[*(- (Im1 z1)),(Rea z1),(Im3 z1),(- (Im2 z1))*]
by QUATERN2:1, QUATERNI:30
;
then A4:
( Rea (z1 * <i>) = - (Im1 z1) & Im1 (z1 * <i>) = Rea z1 )
by QUATERNI:23;
A5:
( Im2 (z1 * <i>) = Im3 z1 & Im3 (z1 * <i>) = - (Im2 z1) )
by A3, QUATERNI:23;
( Rea (<i> * z1) = - (Im1 z1) & Im1 (<i> * z1) = Rea z1 )
by A1, QUATERNI:23;
then
(<i> * z1) + (z1 * <i>) = ((((- (Im1 z1)) + (- (Im1 z1))) + (((Rea z1) + (Rea z1)) * <i>)) + (((- (Im3 z1)) + (Im3 z1)) * <j>)) + (((Im2 z1) + (- (Im2 z1))) * <k>)
by A2, A4, A5, QUATERNI:92;
hence
(<i> * z1) + (z1 * <i>) = [*(- (2 * (Im1 z1))),(2 * (Rea z1)),0,0*]
by QUATERN2:1; verum