let K be Field; for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M1 - M3 = M2 - M3 holds
M1 = M2
let M1, M2, M3 be Matrix of K; ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M1 - M3 = M2 - M3 implies M1 = M2 )
assume that
A1:
len M1 = len M2
and
A2:
len M2 = len M3
and
A3:
width M1 = width M2
and
A4:
width M2 = width M3
and
A5:
M1 - M3 = M2 - M3
; M1 = M2
A6:
( len (- M3) = len M3 & width (- M3) = width M3 )
by MATRIX_3:def 2;
per cases
( len M1 > 0 or len M1 = 0 )
by NAT_1:3;
suppose A7:
len M1 > 0
;
M1 = M2then A8:
M2 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A1, A3, MATRIX_0:20;
A9:
M3 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A1, A2, A3, A4, A7, MATRIX_0:20;
(M1 + (- M3)) + M3 = M2 + ((- M3) + M3)
by A2, A4, A5, A6, MATRIX_3:3;
then
(M1 + (- M3)) + M3 = M2 + (M3 + (- M3))
by A6, MATRIX_3:2;
then
(M1 + (- M3)) + M3 = M2 + (0. (K,(len M1),(width M1)))
by A9, MATRIX_3:5;
then
(M1 + (- M3)) + M3 = M2
by A8, MATRIX_3:4;
then
M1 + ((- M3) + M3) = M2
by A1, A2, A3, A4, A6, MATRIX_3:3;
then
M1 + (M3 + (- M3)) = M2
by A6, MATRIX_3:2;
then A10:
M1 + (0. (K,(len M1),(width M1))) = M2
by A9, MATRIX_3:5;
M1 is
Matrix of
len M1,
width M1,
K
by A7, MATRIX_0:20;
hence
M1 = M2
by A10, MATRIX_3:4;
verum end; end;