let z1, z2, z3, z4 be Element of F_Complex; ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
reconsider z19 = z1, z29 = z2, z39 = z3, z49 = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1:
z2 <> 0. F_Complex
; ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
then A2:
z1 / z2 = z19 / z29
by Th6;
assume A3:
z4 <> 0. F_Complex
; (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4)
then A4:
z2 * z4 <> 0. F_Complex
by A1, VECTSP_1:12;
z3 / z4 = z39 / z49
by A3, Th6;
hence (z1 / z2) + (z3 / z4) =
((z19 * z49) + (z39 * z29)) / (z29 * z49)
by A1, A3, A2, Th7, XCMPLX_1:116
.=
((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4)
by A4, Th6
;
verum