The abstract of the Mizar article:

Correctness of Johnson Counter Circuits

by

Yuguang Yang,

Katsumi Wasaki,

Yasushi Fuwa, and

Yatsuka Nakamura

Received March 13, 1999

MML identifier: GATE_3

[ Mizar article, MML identifier index ]

environ

 vocabulary GATE_1;
 notation GATE_1;
 constructors GATE_1, XBOOLE_0;


begin :: Correctness of Johnson Counter Circuits.

      :: 2-bit Johnson Counter (2JC).
      :: state transition; s0(00) -> s1(01) -> s3(11) -> s2(10) -> s0...
      :: minor loop      ; none

theorem :: GATE_3:1 ::2JC:
  for s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2 being set holds
  ($s0 iff $AND2(NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND2(NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND2( q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND2( q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND2( nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND2( nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $NOT1 q2)&
  ($nq2 iff $q1)
implies
  ($ns1 iff $s0)&
  ($ns3 iff $s1)&
  ($ns2 iff $s3)&
  ($ns0 iff $s2);

      :: 2-bit Johnson Counter with a Reset input (2JCWR).
      :: initial state   ; s*(xx) -> s0(00) [reset]
      :: state transition; s0(00) -> s1(01) -> s3(11) -> s2(10) -> s0...
      :: minor loop      ; none

theorem :: GATE_3:2 ::2JCWR:
  for s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2,R being set holds
  ($s0 iff $AND2(NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND2(NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND2( q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND2( q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND2( nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND2( nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $AND2(NOT1 q2, R))&
  ($nq2 iff $AND2( q1, R))
implies
  ($ns1 iff $AND2(s0, R))&
  ($ns3 iff $AND2(s1, R))&
  ($ns2 iff $AND2(s3, R))&
  ($ns0 iff $OR2(AND2(s2, R),NOT1 R));

      :: 3-bit Johnson Counter (3JC).
      :: state transition; s0(000) -> s1(001) -> s3(011) -> s7(111) ->
      ::                            -> s6(110) -> s4(100) -> s0(000) ...
      :: minor loop      ; s2(010) -> s5(101) -> s2(010) -> s5(101) ...

theorem :: GATE_3:3 ::3JC:
  for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,
    q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3 being set holds
  ($s0 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND3(NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND3(NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s4 iff $AND3( q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s5 iff $AND3( q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s6 iff $AND3( q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s7 iff $AND3( q3, q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns4 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns5 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns6 iff $AND3( nq3, nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns7 iff $AND3( nq3, nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $NOT1 q3)&
  ($nq2 iff $q1)&
  ($nq3 iff $q2)
implies
  ($ns1 iff $s0)&
  ($ns3 iff $s1)&
  ($ns7 iff $s3)&
  ($ns6 iff $s7)&
  ($ns4 iff $s6)&
  ($ns0 iff $s4)
 &
  ($ns2 iff $s5)&
  ($ns5 iff $s2);

      :: 3-bit Johnson Counter with a Reset input (3JCWR).
      :: initial state   ; s*(xxx) -> s0(000) [reset]
      :: state transition; s0(000) -> s1(001) -> s3(011) -> s7(111) ->
      ::                            -> s6(110) -> s4(100) -> s0(000) ...
      :: minor loop      ; s2(010) -> s5(101) -> s2(010) -> s5(101) ...

theorem :: GATE_3:4 ::3JCWR:
  for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,
    q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3,R being set holds
  ($s0 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND3(NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND3(NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s4 iff $AND3( q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s5 iff $AND3( q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s6 iff $AND3( q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s7 iff $AND3( q3, q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns4 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns5 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns6 iff $AND3( nq3, nq2,NOT1 nq1))&
  ($ns7 iff $AND3( nq3, nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $AND2(NOT1 q3, R))&
  ($nq2 iff $AND2( q1, R))&
  ($nq3 iff $AND2( q2, R))
implies
  ($ns1 iff $AND2(s0, R))&
  ($ns3 iff $AND2(s1, R))&
  ($ns7 iff $AND2(s3, R))&
  ($ns6 iff $AND2(s7, R))&
  ($ns4 iff $AND2(s6, R))&
  ($ns0 iff $OR2(AND2(s4, R),NOT1 R))
 &
  ($ns2 iff $AND2(s5, R))&
  ($ns5 iff $AND2(s2, R));


      :: 4-bit Johnson Counter (4JC).
      :: state transition; s0(0000) -> s1(0001) -> s3(0011) -> s7(0111) ->
      ::                 ->s15(1111) ->s14(1110) ->s12(1100) -> s8(1000) -> s0..
      :: minor loop      ; s2(0010) -> s5(0101) ->s11(1011) -> s6(0110) ->
      ::                 ->s13(1101) ->s10(1010) -> s4(0100) -> s9(1001) -> s2..

theorem :: GATE_3:5 ::4JC:
  for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15,
    ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15,
    q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4 being set holds
  ($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1))&
  ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1))&
  ($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $NOT1 q4)&
  ($nq2 iff $q1)&
  ($nq3 iff $q2)&
  ($nq4 iff $q3)
implies
  ($ns1 iff $s0 )&
  ($ns3 iff $s1 )&
  ($ns7 iff $s3 )&
  ($ns15 iff $s7 )&
  ($ns14 iff $s15)&
  ($ns12 iff $s14)&
  ($ns8 iff $s12)&
  ($ns0 iff $s8 )
 &
  ($ns5 iff $s2 )&
  ($ns11 iff $s5 )&
  ($ns6 iff $s11)&
  ($ns13 iff $s6 )&
  ($ns10 iff $s13)&
  ($ns4 iff $s10)&
  ($ns9 iff $s4 )&
  ($ns2 iff $s9 );


      :: 4-bit Johnson Counter with a Reset input (4JCWR).
      :: initial state   ; s*(xxxx) -> s0(0000) [reset]
      :: state transition; s0(0000) -> s1(0001) -> s3(0011) -> s7(0111) ->
      ::                 ->s15(1111) ->s14(1110) ->s12(1100) -> s8(1000) -> s0..
      :: minor loop      ; s2(0010) -> s5(0101) ->s11(1011) -> s6(0110) ->
      ::                 ->s13(1101) ->s10(1010) -> s4(0100) -> s9(1001) -> s2..

theorem :: GATE_3:6 ::4JCRW:
  for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15,
    ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15,
    q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4,R being set holds
  ($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1))&
  ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1))&
  ($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))&
  ($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1))&
  ($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1))&
  ($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1))
 &
  ($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1))&
  ($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))&
  ($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))&
  ($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))&
  ($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1))
 &
  ($nq1 iff $AND2(NOT1 q4,R))&
  ($nq2 iff $AND2( q1,R))&
  ($nq3 iff $AND2( q2,R))&
  ($nq4 iff $AND2( q3,R))
implies
  ($ns1 iff $AND2(s0 ,R))&
  ($ns3 iff $AND2(s1 ,R))&
  ($ns7 iff $AND2(s3 ,R))&
  ($ns15 iff $AND2(s7 ,R))&
  ($ns14 iff $AND2(s15,R))&
  ($ns12 iff $AND2(s14,R))&
  ($ns8 iff $AND2(s12,R))&
  ($ns0 iff $OR2(AND2(s8 ,R),NOT1 R))
 &
  ($ns5 iff $AND2(s2 ,R))&
  ($ns11 iff $AND2(s5 ,R))&
  ($ns6 iff $AND2(s11,R))&
  ($ns13 iff $AND2(s6 ,R))&
  ($ns10 iff $AND2(s13,R))&
  ($ns4 iff $AND2(s10,R))&
  ($ns9 iff $AND2(s4 ,R))&
  ($ns2 iff $AND2(s9 ,R));